Kā noformēt kvadrātvienādojumu: 10 soļi (ar attēliem)

2024 Autors: Robert Blare | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2024-02-02 02:07

Grafiski veidlapas kvadrātiskie vienādojumi cirvis² + bx + c vai a (x - h)² + k dod gludu U formas vai apgrieztu U formas līkni, ko sauc par parabolu. Kvadrātvienādojuma attēlošana ir jautājums par tā virsotnes, virziena un bieži vien x un y pārtveršanas atrašanu. Salīdzinoši vienkāršu kvadrātvienādojumu gadījumā var arī pietikt ar x vērtību diapazona pievienošanu un līknes uzzīmēšanu, pamatojoties uz iegūtajiem punktiem. Lai sāktu, skatiet 1. darbību.

Soļi

1. solis. Nosakiet, kāda kvadrātvienādojuma forma jums ir

Kvadrātvienādojumu var uzrakstīt trīs dažādās formās: standarta forma, virsotnes forma un kvadrātiskā forma. Kvadrātvienādojuma grafikēšanai varat izmantot jebkuru formu; katra attēlošanas process ir nedaudz atšķirīgs. Ja veicat mājasdarbu, parasti problēmu saņemat vienā no šīm divām formām - citiem vārdiem sakot, nevarēsit izvēlēties, tāpēc vislabāk ir saprast abus. Divas kvadrātvienādojuma formas ir:

• Standarta forma.

  Šajā formā kvadrātvienādojums tiek rakstīts šādi: f (x) = ax² + bx + c kur a, b un c ir reāli skaitļi un a nav vienāds ar nulli.

  Piemēram, divi standarta formas kvadrātvienādojumi ir f (x) = x² + 2x + 1 un f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex forma.

  Šajā formā kvadrātvienādojums tiek uzrakstīts šādi: f (x) = a (x - h)² + k kur a, h un k ir reāli skaitļi un a nav vienāds ar nulli. Virsotnes forma ir nosaukta tāpēc, ka h un k tieši sniedz jums jūsu parabolas virsotni (centrālo punktu) punktā (h, k).

  Divi virsotņu formas vienādojumi ir f (x) = 9 (x - 4)² + 18 un -3 (x - 5)² + 1

• Lai grafiski attēlotu kādu no šiem vienādojumu veidiem, mums vispirms jāatrod paraboles virsotne, kas ir centrālais punkts (h, k) līknes "galā". Virsotnes koordinātas standarta formā norāda: h = -b/2a un k = f (h), bet virsotnes formā h un k ir norādītas vienādojumā.

2. solis. Definējiet savus mainīgos

Lai varētu atrisināt kvadrātisko uzdevumu, parasti ir jānosaka mainīgie a, b un c (vai a, h un k). Vidējā algebra problēma sniegs jums kvadrātvienādojumu ar mainīgajiem lielumiem, parasti standarta formā, bet dažreiz virsotnes formā.

• Piemēram, standarta formas vienādojumam f (x) = 2x² + 16x + 39, mums ir a = 2, b = 16 un c = 39.
• Virsotnes formas vienādojumam f (x) = 4 (x - 5)² + 12, mums ir a = 4, h = 5 un k = 12.

3. solis. Aprēķiniet h

Virsotņu formulas vienādojumos jūsu vērtība h jau ir norādīta, bet standarta formulas vienādojumos tā ir jāaprēķina. Atcerieties, ka standarta formas vienādojumiem h = -b/2a.

• Mūsu standarta veidlapas piemērā (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Atrisinot, mēs atklājam, ka h = - 4.
• Mūsu virsotnes formas piemērā (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mēs zinām h = 5, neveicot matemātiku.

Solis 4. Aprēķiniet k

Tāpat kā h, k jau ir zināms virsotņu formu vienādojumos. Standarta formu vienādojumiem atcerieties, ka k = f (h). Citiem vārdiem sakot, jūs varat atrast k, aizstājot katru x vienības vienību ar vērtību, kuru tikko atradāt h.

• Mēs savā standarta veidlapas piemērā esam noteikuši, ka h = -4. Lai atrastu k, mēs atrisinām vienādojumu ar vērtību h, aizstājot x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32–64 + 39 =

    7. solis.

• Mūsu virsotņu formas piemērā mēs atkal zinām k vērtību (kas ir 12), neveicot nekādas matemātikas.

5. solis. Uzzīmējiet savu virsotni

Jūsu parabola virsotne būs punkts (h, k) - h norāda x koordinātu, bet k norāda y koordinātu. Virsotne ir jūsu parabolas centrālais punkts - vai nu "U" apakšdaļa, vai otrādi apgriezto "U." augšdaļa. Virsotnes apzināšana ir būtiska sastāvdaļa precīzas parabolas attēlošanā - bieži vien skolas darbā virsotnes norādīšana būs obligāta jautājuma daļa.

• Mūsu standarta formas piemērā mūsu virsotne būs pie (-4, 7). Tātad mūsu parabola sasniegs 4 atstarpes pa kreisi no 0 un 7 atstarpēm virs (0, 0). Šis punkts mums jāattēlo grafikā, noteikti norādot koordinātas.
• Mūsu virsotnes formas piemērā mūsu virsotne atrodas pie (5, 12). Mums vajadzētu uzzīmēt punktu 5 atstarpes pa labi un 12 atstarpes virs (0, 0).

6. solis. Uzzīmējiet parabolas asi (pēc izvēles)

Parabolas simetrijas ass ir līnija, kas iet caur tās vidu, kas to perfekti sadala uz pusēm. Pāri šai asij parabolas kreisā puse atspoguļos labo pusi. Forma cirvja kvadrātiem² + bx + c vai a (x - h)² + k, ass ir līnija, kas ir paralēla y asij (citiem vārdiem sakot, pilnīgi vertikāla) un iet caur virsotni.

Mūsu standarta formas piemēra gadījumā ass ir līnija, kas ir paralēla y asij un iet caur punktu (-4, 7). Lai gan tā nav daļa no pašas parabolas, viegla šīs līnijas atzīmēšana grafikā galu galā var palīdzēt jums redzēt, kā parabola izliekas simetriski

7. solis. Atrodiet atvēršanas virzienu

Pēc tam, kad esam noskaidrojuši parabolas virsotni un asi, mums tālāk ir jāzina, vai parabola atveras uz augšu vai uz leju. Par laimi, tas ir viegli. Ja "a" ir pozitīvs, parabola atveras uz augšu, bet, ja "a" ir negatīva, parabole tiks atvērta uz leju (t.i., tā tiks apgriezta otrādi).

• Mūsu standarta veidlapas piemērā (f (x) = 2x² + 16x + 39), mēs zinām, ka mums ir parabola, kas atveras uz augšu, jo mūsu vienādojumā a = 2 (pozitīvs).
• Mūsu virsotnes formas piemērā (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), mēs zinām, ka mums ir arī parabole, kas atveras uz augšu, jo a = 4 (pozitīvs).

8. solis. Ja nepieciešams, atrodiet un uzzīmējiet x pārtveršanas vietas

Bieži skolas darbā jums tiks lūgts atrast parabolas x-šķērsgriezumus (kas ir viens vai divi punkti, kur parabola sakrīt ar x asi). Pat ja jūs tos neatradīsit, šie divi punkti var būt nenovērtējami, lai uzzīmētu precīzu parabolu. Tomēr ne visām parabolām ir x-pārtveršanas vietas. Ja jūsu parabolei ir virsotne, kas atveras uz augšu un tai ir virsotne virs x ass vai ja tā atveras uz leju un tai ir virsotne zem x ass, tajā nebūs nevienas x pārtveršanas. Pretējā gadījumā atrisiniet x pārtveršanu, izmantojot vienu no šīm metodēm:

• Vienkārši iestatiet f (x) = 0 un atrisiniet vienādojumu. Šī metode var darboties vienkāršiem kvadrātvienādojumiem, it īpaši virsotņu formā, taču sarežģītākiem vienlīdz grūti. Piemēru skatiet tālāk

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 un 13 ir parabolas x-pārtveršanas vietas.

• Faktorējiet savu vienādojumu. Cirvī daži vienādojumi² + bx + c formu var viegli iekļaut formā (dx + e) (fx + g), kur dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx un e × g = c. Šādā gadījumā jūsu x pārtvertais punkts ir x vērtība, kas padara vienu vai otru terminu iekavās = 0. Piemēram:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Šajā gadījumā jūsu vienīgā x pārtverta vērtība ir -1, jo, nosakot x vienādu ar -1, viens no iekavās iekļautajiem vienumiem būs vienāds ar 0.

• Izmantojiet kvadrātisko formulu. Ja nevarat viegli atrisināt x pārtveršanu vai koeficientu vienādojumam, izmantojiet īpašu vienādojumu, ko sauc par kvadrātisko formulu, kas paredzēta tieši šim nolūkam. Ja tā vēl nav, iegūstiet vienādojumu formas cirvī² + bx + c, pēc tam pievienojiet a, b un c formulai x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Ņemiet vērā, ka tas bieži sniedz divas atbildes uz x, kas ir labi - tas tikai nozīmē, ka jūsu parabolai ir divi x pārtverumi. Piemēru skatiet tālāk.

  • -5x² + 1x + 10 tiek pievienoti kvadrātveida formulai šādi:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) un (-15,18/-10). Parabolas x pārtveršanas vietas ir aptuveni x = - 1.318 un 1.518
  • Mūsu iepriekšējais standarta veidlapas piemērs, 2x² + 16x + 39 tiek pievienoti kvadrātveida formulai šādi:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Tā kā negatīva skaitļa kvadrātsaknes atrašana nav iespējama, mēs to zinām nav x pārtveršanas pastāv šai konkrētajai parabolei.

9. solis. Ja nepieciešams, atrodiet un uzzīmējiet y pārtveršanu

Lai gan bieži vien nav nepieciešams atrast vienādojuma y krustojumu (punktu, kurā parabola iet cauri y asij), galu galā jums var būt nepieciešams, it īpaši, ja esat skolā. Šis process ir diezgan vienkāršs - vienkārši iestatiet x = 0, pēc tam atrisiniet vienādojumu f (x) vai y, kas dod jums y vērtību, pie kuras jūsu parabola iet caur y asi. Atšķirībā no x pārtveršanas, standarta parabolas var saturēt tikai vienu y. Piezīme - standarta formas vienādojumiem y pārtverta vieta ir y = c.

• Piemēram, mēs zinām savu kvadrātvienādojumu 2x² + 16x + 39 ir y pārtvērums pie y = 39, bet to var atrast arī šādi:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabolas y krustojums atrodas plkst y = 39.

    Kā minēts iepriekš, y pārtveršana atrodas pie y = c.

• Mūsu virsotne veido vienādojumu 4 (x - 5)² + 12 ir y pārtveršana, ko var atrast šādi:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolas y krustojums atrodas plkst y = 112.

10. solis. Ja nepieciešams, uzzīmējiet papildu punktus, pēc tam grafiski

Tagad jūsu vienādojumam vajadzētu būt virsotnei, virzienam, x pārtvertajam punktam (-iem) un, iespējams, arī y pārtvertajam punktam. Šajā brīdī jūs varat vai nu mēģināt uzzīmēt savu parabolu, izmantojot vadlīnijas, kas jums ir kā vadlīnijas, vai arī varat atrast vairāk punktu, lai "aizpildītu" savu parabolu, lai zīmētā līkne būtu precīzāka. Vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir vienkārši pievienot dažas x vērtības abās virsotnes pusēs, pēc tam uzzīmēt šos punktus, izmantojot iegūtās y vērtības. Bieži vien skolotāji pieprasīs, lai pirms parabolas zīmēšanas jūs iegūtu noteiktu punktu skaitu.

• Apskatīsim vēlreiz vienādojumu x² + 2x + 1. Mēs jau zinām, ka tā vienīgā x pārtverta vieta ir x = -1. Tā kā tas tikai pieskaras x pārtvertajam punktam vienā vietā, mēs varam secināt, ka tā virsotne ir tā x krustojums, kas nozīmē, ka tā virsotne ir (-1, 0). Mums faktiski ir tikai viens punkts šai parabolai - tas nav gandrīz pietiekami, lai uzzīmētu labu parabolu. Atradīsim vēl dažus, lai pārliecinātos, ka zīmējam precīzu grafiku.

  • Atradīsim y vērtības šādām x vērtībām: 0, 1, -2 un -3.
  • Attiecībā uz 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Mūsu punkts ir (0, 1).

  • 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Mūsu jautājums ir (1, 4).

  • -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Mūsu punkts ir (-2, 1).

  • Attiecībā uz -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Mūsu punkts ir (-3, 4).

  • Uzzīmējiet šos punktus grafikā un uzzīmējiet U formas līkni. Ņemiet vērā, ka parabola ir pilnīgi simetriska - ja jūsu punkti vienā paraboles pusē atrodas uz veseliem skaitļiem, jūs parasti varat ietaupīt kādu darbu, vienkārši atspoguļojot doto punktu pāri parabolas simetrijas asij, lai atrastu atbilstošo punktu otrā pusē no parabolas.

Video - izmantojot šo pakalpojumu, daļa informācijas var tikt kopīgota ar pakalpojumu YouTube

Padomi

• Ņemiet vērā, ka f (x) = ax² + bx + c, ja b vai c ir vienāds ar nulli, šie skaitļi pazūd. Piemēram, 12x² + 0x + 6 kļūst par 12x² + 6, jo 0x ir 0.
• Noapaļojiet skaitļus vai izmantojiet frakcijas, kā jums saka algebra skolotājs. Tas palīdzēs pareizi grafizēt kvadrātvienādojumus.