Parabola ir kvadrātiskās funkcijas grafiks, un tā ir gluda "U" formas līkne. Parabolas ir arī simetriskas, kas nozīmē, ka tās var salocīt pa līniju tā, lai visi locīšanas līnijas vienā pusē esošie punkti sakristu ar atbilstošajiem punktiem locīšanas līnijas otrā pusē. Salocīšanas līnija, ko sauc par simetrijas asi, ir vertikālā līnija, kas iet caur vereksu. Jebkurš parabolas punkts atrodas vienādā attālumā no fiksēta punkta (fokusa) un fiksētas taisnas līnijas (directrix). Lai attēlotu parabolas grafiku, jums jāatrod tā virsotne, kā arī vairāki punkti abās virsotnes pusēs, lai atzīmētu ceļu, pa kuru pārvietojas punkti.
Soļi
1. daļa no 2: Parabolas attēlošana
Solis 1. Izprotiet parabolas daļas
Pirms darba sākšanas jums var tikt sniegta noteikta informācija, un terminoloģijas pārzināšana palīdzēs izvairīties no nevajadzīgām darbībām. Šeit ir jāzina parabolas daļas:
- Fokuss. Fiksēts punkts parabolas iekšpusē, ko izmanto formālai līknes definīcijai.
- Režisors. Fiksēta, taisna līnija. Parabola ir punktu lokuss (sērija), kurā jebkurš punkts atrodas vienādā attālumā no fokusa un tiešās. (Skatiet diagrammu iepriekš.)
- Simetrijas ass. Šī ir taisna līnija, kas iet caur paraboles pagrieziena punktu ("virsotni") un atrodas vienādā attālumā no atbilstošajiem punktiem abās parabolas rokās.
- Virsotne. Punktu, kur simetrijas ass šķērso parabolu, sauc par paraboles virsotni. Ja parabola atveras uz augšu vai pa labi, virsotne ir līknes minimālais punkts. Ja tas atveras uz leju vai pa kreisi, virsotne ir maksimālais punkts.
Solis 2. Ziniet parabolas vienādojumu
Vispārējais parabolas vienādojums ir y = cirvis2+ bx + c. To var uzrakstīt arī vēl vispārīgākā formā y = a (x - h) ² + k, taču šeit mēs koncentrēsimies uz vienādojuma pirmo formu.
- Ja koeficients a vienādojumā ir pozitīvs, parabola atveras uz augšu (vertikāli orientētā parabolā), piemēram, burts "U", un tā virsotne ir minimālais punkts. Ja a ir negatīvs, parabola atveras uz leju, un tās maksimālajā punktā ir virsotne. Ja jums ir grūtības to atcerēties, padomājiet par to šādi: vienādojums ar pozitīvu vērtību izskatās kā smaids; vienādojums ar negatīvu vērtību izskatās kā pieri.
- Pieņemsim, ka jums ir šāds vienādojums: y = 2x2 -1. Šī parabola tiks veidota kā "U", jo vērtība (2) ir pozitīva.
- Ja vienādojumam ir y termins kvadrātā, nevis x kvadrātā, parabola tiks orientēta horizontāli un atvērta uz sāniem, pa labi vai pa kreisi, piemēram, "C" vai atpalikuša "C." Piemēram, parabola y2 = x + 3 atveras pa labi, piemēram, "C."
Solis 3. Atrodiet simetrijas asi
Atcerieties, ka simetrijas ass ir taisna līnija, kas iet caur paraboles pagrieziena punktu (virsotni). Vertikālās parabolas gadījumā (atveramies uz augšu vai uz leju) ass ir tāda pati kā virsotnes x koordināta, kas ir tā punkta x vērtība, kurā simetrijas ass šķērso parabolu. Lai atrastu simetrijas asi, izmantojiet šo formulu: x = -b/2a.
- Iepriekš minētajā piemērā (y = 2x² -1), a = 2 un b = 0. Tagad jūs varat aprēķināt simetrijas asi, pievienojot skaitļus: x = -0 / (2) (2) = 0.
- Šajā gadījumā simetrijas ass ir x = 0 (kas ir koordinātu plaknes y ass).
Solis 4. Atrodiet virsotni
Kad jūs zināt simetrijas asi, varat pievienot šo vērtību x, lai iegūtu y koordinātu. Šīs divas koordinātas sniegs jums paraboles virsotni. Šajā gadījumā jūs pievienosit 0 līdz 2x2 -1, lai iegūtu y koordinātu. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Virsotne ir (0, -1), un parabola šķērso y asi pie -1.
Virsotnes koordinātas dažreiz sauc par (h, k). Šajā gadījumā h ir 0, un k ir -1. Parabolas vienādojumu var uzrakstīt formā y = a (x - h) ² + k. Šādā formā virsotne ir punkts (h, k), un jums nav jāveic nekādas matemātikas, lai atrastu virsotni, ne tikai pareizi interpretējot grafiku
Solis 5. Izveidojiet tabulu ar izvēlētajām x vērtībām
Izveidojiet tabulu ar noteiktām x vērtībām pirmajā kolonnā. Šī tabula sniegs jums koordinātas, kas nepieciešamas vienādojuma grafikai.
- Vidējai x vērtībai vajadzētu būt simetrijas asij "vertikālas" paraboles gadījumā.
- Simetrijas labad tabulā jāiekļauj vismaz divas vērtības virs un zem x vidējās vērtības.
- Šajā piemērā ievietojiet simetrijas ass vērtību (x = 0) tabulas vidū.
6. solis. Aprēķiniet atbilstošo y koordinātu vērtības
Aizvietojiet katru x vērtību parabolas vienādojumā un aprēķiniet atbilstošās y vērtības. Ievietojiet tabulā šīs aprēķinātās y vērtības. Šajā piemērā y vērtības tiek aprēķinātas šādi:
- Ja x = -2, y tiek aprēķināts šādi: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Ja x = -1, y aprēķina šādi: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Ja x = 0, y tiek aprēķināts šādi: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Ja x = 1, y aprēķina šādi: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Ja x = 2, y aprēķina šādi: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Solis 7. Ievietojiet tabulā aprēķinātās y vērtības
Tagad, kad esat atradis vismaz piecus parabolas koordinātu pārus, esat gandrīz gatavs to grafiski attēlot. Pamatojoties uz jūsu darbu, jums tagad ir šādi punkti: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Atcerieties, ka parabola tiek atspoguļota (simetriska) attiecībā pret simetrijas asi. Tas nozīmē, ka punktu y koordinātas tieši pāri simetrijas asij viena no otras būs vienādas. X-koordinātu -2 un +2 y-koordinātas ir 7; x-koordinātu -1 un +1 y-koordinātas ir 1 utt.
8. solis. Uzzīmējiet tabulas punktus koordinātu plaknē
Katra tabulas rinda veido koordinātu pāri (x, y) koordinātu plaknē. Grafējiet visus punktus, izmantojot tabulā norādītās koordinātas.
- X ass ir horizontāla; y ass ir vertikāla.
- Pozitīvie skaitļi uz y ass ir virs punkta (0, 0), un negatīvie skaitļi uz y ass ir zem punkta (0, 0).
- Pozitīvie skaitļi uz x ass atrodas pa labi no punkta (0, 0), bet negatīvie skaitļi uz ass-pa kreisi no punkta (0, 0).
9. solis. Savienojiet punktus
Lai attēlotu parabolas grafiku, savienojiet punktus, kas uzzīmēti iepriekšējā solī. Šajā piemērā redzamā diagramma izskatīsies kā U. Savienojiet punktus, izmantojot nedaudz izliektas (nevis taisnas) līnijas. Tādējādi tiks izveidots visprecīzākais parabolas attēls (kas visā garumā ir vismaz nedaudz izliekts). Parabola abos galos, ja vēlaties, varat uzzīmēt bultiņas, kas vērstas prom no virsotnes. Tas norādīs, ka parabola turpinās bezgalīgi.
2. daļa no 2: Parabolas diagrammas maiņa
Ja vēlaties īsceļu paraboles pārvietošanai, neatrodot tās virsotni un atkārtoti uzzīmējot tajā vairākus punktus, jums ir jāsaprot, kā nolasīt parabolas vienādojumu, un jāiemācās to pārvietot vertikāli vai horizontāli. Sāciet ar pamata parabolu: y = x2. Tā virsotne ir (0, 0) un atveras uz augšu. Punkti uz to ietver (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) un (2, 4). Jūs varat pārvietot parabolu, pamatojoties uz tās vienādojumu.
1. solis. Pārvietojiet parabolu uz augšu
Apsveriet vienādojumu y = x2 +1. Tādējādi sākotnējā parabola tiek pārvietota uz augšu par 1 vienību. Virsotne tagad ir (0, 1), nevis (0, 0). Tas saglabās sākotnējās parabolas precīzo formu, bet katra y koordināta tiks pārvietota uz augšu par 1 vienību. Tātad (-1, 1) un (1, 1) vietā mēs uzzīmējam (-1, 2) un (1, 2).
2. solis. Pārbīdiet parabolu uz leju
Ņem vienādojumu y = x2 -1. Mēs pārvietojam sākotnējo parabola lejup 1 vienību uz leju, lai virsotne tagad būtu (0, -1), nevis (0, 0). Tam joprojām būs tāda pati forma kā sākotnējai parabolai, bet katra y koordināta tiks pārvietota uz leju par 1 vienību. Tātad, piemēram, (-1, 1) un (1, 1) vietā mēs uzzīmējam (-1, 0) un (1, 0).
Solis 3. Pārvietojiet parabolu pa kreisi
Apsveriet vienādojumu y = (x + 1)2. Tādējādi sākotnējā parabola tiek pārvietota par vienu vienību pa kreisi. Virsotne tagad ir (-1, 0), nevis (0, 0). Tas saglabā sākotnējās parabolas formu, bet katra x koordināta tiek pārvietota uz vienu vienību pa kreisi. Piemēram, (-1, 1) un (1, 1) vietā mēs uzzīmējam (-2, 1) un (0, 1).
Solis 4. Pārvietojiet parabolu pa labi
Apsveriet vienādojumu y = (x - 1)2. Šī ir sākotnējā parabola, kas pārvietota par vienu vienību pa labi. Virsotne tagad ir (1, 0), nevis (0, 0). Tas saglabā sākotnējās parabolas formu, bet katra x koordināta tiks pārvietota uz labo vienību. Piemēram, (-1, 1) un (1, 1) vietā mēs uzzīmējam (0, 1) un (2, 1).
